L8a18{1;1} - HFL and FL

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F_L expansions

Newt(Δ_L) vertex Exposing functional Leading x-power Leading q-power Inversion datum Inversion cycle F_L

Newt(Δ_L) vertex	Exposing functional	Leading x-power	Leading q-power	Inversion datum	F_L
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(-1/2, -1, -1)

(1, 1, 1)

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q^(2)

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q^(2)

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(1/2, 1, 1)

x1^(-1/2)x2^(-1)x3^(-1)

q^(2)

(-q^(2))*x1^(-1/2)*x2^(-1)*x3^(-1) + (-q^(2))*x1^(-1/2)*x2^(-1)*x3^(-2) + (-q^(2))*x1^(-1/2)*x2^(-1)*x3^(-3) + (-q^(2))*x1^(-1/2)*x2^(-1)*x3^(-4) + (-q^(2))*x1^(-1/2)*x2^(-1)*x3^(-5) + (q^(3))*x1^(-1/2)*x2^(-2)*x3^(-2) + (q^(3))*x1^(-1/2)*x2^(-2)*x3^(-3) + (q^(3))*x1^(-1/2)*x2^(-2)*x3^(-4) + (q^(3))*x1^(-1/2)*x2^(-2)*x3^(-5) + (q^(6))*x1^(-1/2)*x2^(-3)*x3^(-4) + (q^(7) + q^(6))*x1^(-1/2)*x2^(-3)*x3^(-5) + (-q^(7))*x1^(-1/2)*x2^(-4)*x3^(-4) + (-q^(9) - q^(8) - q^(7))*x1^(-1/2)*x2^(-4)*x3^(-5) + (q^(10))*x1^(-1/2)*x2^(-5)*x3^(-5) + (-q^(2))*x1^(-3/2)*x2^(-1)*x3^(-1) + (-q^(2) - q)*x1^(-3/2)*x2^(-1)*x3^(-2) + (-q^(2) - q - 1)*x1^(-3/2)*x2^(-1)*x3^(-3) + (-q^(2) - q - 1 - q^(-1))*x1^(-3/2)*x2^(-1)*x3^(-4) + (-q^(2) - q - 1 - q^(-1) - q^(-2))*x1^(-3/2)*x2^(-1)*x3^(-5) + (q^(3))*x1^(-3/2)*x2^(-2)*x3^(-1) + (2*q^(3) + q^(2))*x1^(-3/2)*x2^(-2)*x3^(-2) + (2*q^(3) + 2*q^(2) + q)*x1^(-3/2)*x2^(-2)*x3^(-3) + (2*q^(3) + 2*q^(2) + 2*q + 1)*x1^(-3/2)*x2^(-2)*x3^(-4) + (2*q^(3) + 2*q^(2) + 2*q + 2*1 + q^(-1))*x1^(-3/2)*x2^(-2)*x3^(-5) + (-q^(4))*x1^(-3/2)*x2^(-3)*x3^(-2) + (-q^(4) - 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q^(8) - q^(7) - q^(6))*x1^(-7/2)*x2^(-5)*x3^(-3) + (q^(13) + 4*q^(12) + 8*q^(11) + 11*q^(10) + 9*q^(9) + 6*q^(8) + q^(7) - q^(6) - 2*q^(5) - q^(4) - q^(3))*x1^(-7/2)*x2^(-5)*x3^(-4) + (q^(14) + 4*q^(13) + 11*q^(12) + 20*q^(11) + 30*q^(10) + 32*q^(9) + 30*q^(8) + 22*q^(7) + 12*q^(6) + 5*q^(5) - 2*q^(3) - 2*q^(2) - q - 1)*x1^(-7/2)*x2^(-5)*x3^(-5) + (-q^(2))*x1^(-9/2)*x2^(-1)*x3^(-1) + (-q^(2) - q - 1 - q^(-1) - q^(-2))*x1^(-9/2)*x2^(-1)*x3^(-2) + (-q^(2) - q - 2*1 - 2*q^(-1) - 3*q^(-2) - 2*q^(-3) - 2*q^(-4) - q^(-5) - q^(-6))*x1^(-9/2)*x2^(-1)*x3^(-3) + (-q^(2) - q - 2*1 - 3*q^(-1) - 4*q^(-2) - 4*q^(-3) - 5*q^(-4) - 4*q^(-5) - 4*q^(-6) - 3*q^(-7) - 2*q^(-8) - q^(-9) - q^(-10))*x1^(-9/2)*x2^(-1)*x3^(-4) + (-q^(2) - q - 2*1 - 3*q^(-1) - 5*q^(-2) - 5*q^(-3) - 7*q^(-4) - 7*q^(-5) - 8*q^(-6) - 7*q^(-7) - 7*q^(-8) - 5*q^(-9) - 5*q^(-10) - 3*q^(-11) - 2*q^(-12) - q^(-13) - q^(-14))*x1^(-9/2)*x2^(-1)*x3^(-5) + (q^(6) + q^(5) + q^(4) + q^(3))*x1^(-9/2)*x2^(-2)*x3^(-1) + (q^(6) + 2*q^(5) + 3*q^(4) + 5*q^(3) + 4*q^(2) + 3*q + 2*1 + q^(-1))*x1^(-9/2)*x2^(-2)*x3^(-2) + (q^(6) + 2*q^(5) + 4*q^(4) + 7*q^(3) + 9*q^(2) + 10*q + 10*1 + 9*q^(-1) + 6*q^(-2) + 4*q^(-3) + 2*q^(-4) + q^(-5))*x1^(-9/2)*x2^(-2)*x3^(-3) + (q^(6) + 2*q^(5) + 4*q^(4) + 8*q^(3) + 11*q^(2) + 15*q + 18*1 + 20*q^(-1) + 19*q^(-2) + 18*q^(-3) + 14*q^(-4) + 11*q^(-5) + 7*q^(-6) + 4*q^(-7) + 2*q^(-8) + q^(-9))*x1^(-9/2)*x2^(-2)*x3^(-4) + (q^(6) + 2*q^(5) + 4*q^(4) + 8*q^(3) + 12*q^(2) + 17*q + 23*1 + 28*q^(-1) + 31*q^(-2) + 34*q^(-3) + 33*q^(-4) + 31*q^(-5) + 27*q^(-6) + 22*q^(-7) + 16*q^(-8) + 12*q^(-9) + 7*q^(-10) + 4*q^(-11) + 2*q^(-12) + q^(-13))*x1^(-9/2)*x2^(-2)*x3^(-5) + (-q^(9) - 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q^(10) - 2*q^(9) - 2*q^(8) - 2*q^(7) - q^(6) - q^(5))*x1^(-11/2)*x2^(-3)*x3^(-1) + (-q^(11) - 2*q^(10) - 4*q^(9) - 7*q^(8) - 9*q^(7) - 10*q^(6) - 10*q^(5) - 9*q^(4) - 6*q^(3) - 4*q^(2) - 2*q - 1)*x1^(-11/2)*x2^(-3)*x3^(-2) + (-q^(11) - 2*q^(10) - 5*q^(9) - 9*q^(8) - 15*q^(7) - 20*q^(6) - 26*q^(5) - 29*q^(4) - 31*q^(3) - 28*q^(2) - 25*q - 19*1 - 14*q^(-1) - 8*q^(-2) - 5*q^(-3) - 2*q^(-4) - q^(-5))*x1^(-11/2)*x2^(-3)*x3^(-3) + (-q^(11) - 2*q^(10) - 5*q^(9) - 10*q^(8) - 17*q^(7) - 25*q^(6) - 36*q^(5) - 47*q^(4) - 57*q^(3) - 65*q^(2) - 68*q - 69*1 - 64*q^(-1) - 56*q^(-2) - 45*q^(-3) - 35*q^(-4) - 24*q^(-5) - 16*q^(-6) - 9*q^(-7) - 5*q^(-8) - 2*q^(-9) - q^(-10))*x1^(-11/2)*x2^(-3)*x3^(-4) + (-q^(11) - 2*q^(10) - 5*q^(9) - 10*q^(8) - 17*q^(7) - 26*q^(6) - 40*q^(5) - 55*q^(4) - 73*q^(3) - 90*q^(2) - 108*q - 121*1 - 132*q^(-1) - 134*q^(-2) - 132*q^(-3) - 122*q^(-4) - 110*q^(-5) - 91*q^(-6) - 74*q^(-7) - 55*q^(-8) - 40*q^(-9) - 26*q^(-10) - 17*q^(-11) - 9*q^(-12) - 5*q^(-13) - 2*q^(-14) - q^(-15))*x1^(-11/2)*x2^(-3)*x3^(-5) + (q^(14) + q^(13) + 2*q^(12) + 2*q^(11) + 2*q^(10) + q^(9) + q^(8))*x1^(-11/2)*x2^(-4)*x3^(-1) + (q^(14) + 2*q^(13) + 5*q^(12) + 7*q^(11) + 10*q^(10) + 11*q^(9) + 11*q^(8) + 9*q^(7) + 7*q^(6) + 4*q^(5) + 2*q^(4) + q^(3))*x1^(-11/2)*x2^(-4)*x3^(-2) + (q^(14) + 2*q^(13) + 6*q^(12) + 9*q^(11) + 16*q^(10) + 22*q^(9) + 29*q^(8) + 32*q^(7) + 35*q^(6) + 32*q^(5) + 28*q^(4) + 21*q^(3) + 15*q^(2) + 9*q + 5*1 + 2*q^(-1) + q^(-2))*x1^(-11/2)*x2^(-4)*x3^(-3) + (q^(14) + 2*q^(13) + 5*q^(12) + 8*q^(11) + 15*q^(10) + 23*q^(9) + 35*q^(8) + 45*q^(7) + 60*q^(6) + 70*q^(5) + 77*q^(4) + 77*q^(3) + 74*q^(2) + 64*q + 52*1 + 39*q^(-1) + 27*q^(-2) + 17*q^(-3) + 10*q^(-4) + 5*q^(-5) + 2*q^(-6) + q^(-7))*x1^(-11/2)*x2^(-4)*x3^(-4) + (q^(14) + q^(13) + 3*q^(12) + 4*q^(11) + 9*q^(10) + 13*q^(9) + 23*q^(8) + 34*q^(7) + 54*q^(6) + 73*q^(5) + 97*q^(4) + 117*q^(3) + 136*q^(2) + 145*q + 148*1 + 139*q^(-1) + 126*q^(-2) + 106*q^(-3) + 85*q^(-4) + 63*q^(-5) + 45*q^(-6) + 29*q^(-7) + 18*q^(-8) + 10*q^(-9) + 5*q^(-10) + 2*q^(-11) + q^(-12))*x1^(-11/2)*x2^(-4)*x3^(-5) + (-q^(16) - q^(15) - q^(14) - q^(13) - q^(12))*x1^(-11/2)*x2^(-5)*x3^(-1) + (-q^(16) - 3*q^(15) - 4*q^(14) - 6*q^(13) - 7*q^(12) - 7*q^(11) - 5*q^(10) - 4*q^(9) - 2*q^(8) - q^(7))*x1^(-11/2)*x2^(-5)*x3^(-2) + (-q^(15) - 3*q^(14) - 6*q^(13) - 11*q^(12) - 16*q^(11) - 20*q^(10) - 21*q^(9) - 21*q^(8) - 17*q^(7) - 13*q^(6) - 8*q^(5) - 5*q^(4) - 2*q^(3) - q^(2))*x1^(-11/2)*x2^(-5)*x3^(-3) + (q^(17) + 2*q^(16) + 4*q^(15) + 7*q^(14) + 8*q^(13) + 7*q^(12) + q^(11) - 8*q^(10) - 21*q^(9) - 32*q^(8) - 43*q^(7) - 46*q^(6) - 46*q^(5) - 40*q^(4) - 33*q^(3) - 23*q^(2) - 16*q - 9*1 - 5*q^(-1) - 2*q^(-2) - q^(-3))*x1^(-11/2)*x2^(-5)*x3^(-4) + (q^(18) + 3*q^(17) + 7*q^(16) + 14*q^(15) + 26*q^(14) + 39*q^(13) + 52*q^(12) + 62*q^(11) + 66*q^(10) + 57*q^(9) + 39*q^(8) + 14*q^(7) - 16*q^(6) - 43*q^(5) - 66*q^(4) - 78*q^(3) - 82*q^(2) - 76*q - 67*1 - 52*q^(-1) - 39*q^(-2) - 26*q^(-3) - 17*q^(-4) - 9*q^(-5) - 5*q^(-6) - 2*q^(-7) - q^(-8))*x1^(-11/2)*x2^(-5)*x3^(-5)

Braid

Braid word	Components	Crossings	Strands
`[1, -2, 1, 1, 1, 1, -2, 1]`	3	8	3

Multivariable Alexander polynomial

Δ_L
`-A1^(1/2)A2A3 + A1^(1/2)A2 - A1^(1/2) + A1^(1/2)A3^(-1) - A1^(1/2)A2^(-1)A3^(-1) + A1^(-1/2)A2A3 - A1^(-1/2)A3 + A1^(-1/2) - A1^(-1/2)A2^(-1) + A1^(-1/2)A2^(-1)A3^(-1)`

Warning: the A1, A2, … basis used for the HFL and Alexander data might not match the x1, x2, … basis used for F_L.

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Dual Thurston polytope

Vertex	Dual to fibered face
`(-1, 2, 2)`	yes
`(1, 0, -2)`	yes
`(1, 2, 0)`	yes
`(-1, -2, -2)`	yes
`(1, -2, -2)`	yes
`(1, 2, 2)`	yes
`(-1, -2, 0)`	yes
`(-1, 0, 2)`	yes

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HFL polytope

Poincaré polynomial
m^(-7)A1^(-1)A2^(-3/2)A3^(-3/2) + 2m^(-6)A1^(-1)A2^(-3/2)A3^(-1/2) + m^(-6)A1^(-1)A2^(-1/2)A3^(-3/2) + 2m^(-6)A2^(-3/2)A3^(-3/2) + m^(-5)A1^(-1)A2^(-3/2)A3^(1/2) + 3m^(-5)A1^(-1)A2^(-1/2)A3^(-1/2) + 3m^(-5)A2^(-3/2)A3^(-1/2) + 3m^(-5)A2^(-1/2)A3^(-3/2) + m^(-5)A1A2^(-3/2)A3^(-3/2) + 3m^(-4)A1^(-1)A2^(-1/2)A3^(1/2) + m^(-4)A1^(-1)A2^(1/2)A3^(-1/2) + m^(-4)A2^(-3/2)A3^(1/2) + 6m^(-4)A2^(-1/2)A3^(-1/2) + m^(-4)A2^(1/2)A3^(-3/2) + m^(-4)A1A2^(-3/2)A3^(-1/2) + 2m^(-4)A1A2^(-1/2)A3^(-3/2) + m^(-3)A1^(-1)A2^(-1/2)A3^(3/2) + 3m^(-3)A1^(-1)A2^(1/2)A3^(1/2) + 4m^(-3)A2^(-1/2)A3^(1/2) + 4m^(-3)A2^(1/2)A3^(-1/2) + 3m^(-3)A1A2^(-1/2)A3^(-1/2) + m^(-3)A1A2^(1/2)A3^(-3/2) + 2m^(-2)A1^(-1)A2^(1/2)A3^(3/2) + m^(-2)A1^(-1)A2^(3/2)A3^(1/2) + m^(-2)A2^(-1/2)A3^(3/2) + 6m^(-2)A2^(1/2)A3^(1/2) + m^(-2)A2^(3/2)A3^(-1/2) + m^(-2)A1A2^(-1/2)A3^(1/2) + 3m^(-2)A1A2^(1/2)A3^(-1/2) + m^(-1)A1^(-1)A2^(3/2)A3^(3/2) + 3m^(-1)A2^(1/2)A3^(3/2) + 3m^(-1)A2^(3/2)A3^(1/2) + 3m^(-1)A1A2^(1/2)A3^(1/2) + m^(-1)A1A2^(3/2)A3^(-1/2) + 2A2^(3/2)A3^(3/2) + A1A2^(1/2)A3^(3/2) + 2A1A2^(3/2)A3^(1/2) + mA1A2^(3/2)*A3^(3/2)

Vertex	Maslov	Rank
`(-1, -3/2, -3/2)`	-7	1
`(-1, -3/2, 1/2)`	-5	1
`(-1, -1/2, -3/2)`	-6	1
`(-1, -1/2, 3/2)`	-3	1
`(-1, 3/2, 1/2)`	-2	1
`(-1, 3/2, 3/2)`	-1	1
`(0, -3/2, 1/2)`	-4	1
`(0, -1/2, 3/2)`	-2	1
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`(1, -3/2, -3/2)`	-5	1
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`(1, 1/2, 3/2)`	0	1
`(1, 3/2, -1/2)`	-1	1
`(1, 3/2, 3/2)`	1	1

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Record

FL/HFL Links

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FL expansions

Braid

Multivariable Alexander polynomial

Dual Thurston polytope

HFL polytope

Record

F_L expansions